Non, un végétarien, au sens strict du terme, ne mange pas de poisson.
“Régime alimentaire excluant toute chair animale (viande, poisson), mais qui admet en général la consommation d’aliments d’origine animale comme les œufs, le lait et les produits laitiers (fromage, yaourts).”
Larousse.fr
Cependant, certains “végétariens” continuent de manger du poisson, on les appelle les pesco-végétariens, même si ce terme est un non-sens sémantique.